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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\def\d{\mathrm{d}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2020年数学分析}
\begin{problem}[本题15分]
求极限 
\[
    \lim_{n \to \infty} \left(  \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}
    {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)} \right)^\frac{1}{n}.
\]
\end{problem}


\begin{problem}[本题15分]
    计算 
    $$ \displaystyle\iint _D e^{\frac{x-y}{x+y}}\d x\d y$$
    其中 $D$ 是 $x=0,y=0,x+y=1$，所围成的区域.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    计算
    $$
    \varoiint_S yz \d y\d z+zx\d x\d x+xy\d x\d y
    $$ 
    其中 $S$ 是单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$的外侧.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
设 $f(x,y)$ 在 $D=[0,1]\times [0,1]$ 上的连续函数，令$\displaystyle M=\max\limits_{x\in D}|f(x,y)|,\displaystyle m=\min\limits_{x\in D} |f(x,y)|$,
    试求 
    $$
    \lim_{n\to \infty} \left( \iint_D \left| f(x,y) \right|^n \d x\d y \right)^\frac{1}{n}.
    $$
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $a_n = \displaystyle\int^1_0 x^n \sqrt{1-x^2}\d x$,证明以下结论:\\
    (1) $\displaystyle a_n = \frac{n-1}{n+2}a_{n-2}$  \qquad  (2) $\displaystyle a_n \le a_{n-1} \le a_{n-2}$ \qquad (3) $\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty } \frac{a_n}{a_{n-1}}=1$

\end{problem}    

\begin{problem}[本题15分]
    研究函数 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n+x}$ 在 $[0,+\infty )$ 的连续性，一致连续性与可微性.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    证明 $f(x) = x\ln x$在 $\left( 0,+\infty  \right)$ 上不一致连续.
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $\left\{ a_n \right\}$ 有界并满足 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\left(  a_{2n}+2a_n \right)=0$,证明 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }a_n=0$.  
    
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    求曲线
    $
    \left\{\begin{aligned}
        x^2+y^2+z e^z & =2 \\
        x^2+x y+y^2 & =1
        \end{aligned}\right.
    $
    在 $\left( 1,-1,0 \right)$ 处的切线方程.
\end{problem}
\begin{problem}[本题15分]
    证明：不存在从闭区间 $[0,1]$ 到单位圆周上的一对一的连续对应.
    
\end{problem}
\end{document}